Question

已知m，n（m＞n）是正整数．（1）若3 m 与3 n 的末位数字相同，求m+n的最小值；（2）若3 m 与3 n 的末两

已知m，n（m＞n）是正整数．（1）若3 m 与3 n 的末位数字相同，求m+n的最小值；（2）若3 m 与3 n 的末两位数字都相同，求m-n的最小值．

Answer 1

（1）若3 m 与3 n 的末位数字相同，必须且只须3 m -3 n 是10的倍数，即3 m -3 n =3 n （3 m-n -1）是10的倍数． 又（3 n ，10）=1，所以3 m-n -1是10的倍数，即只需3 s （=3 m-n ）的末位数字是1． 显然3 4 =81满足条件，所以m-n的最小值是4． 取n=1，则m=5，此时m+n最小，其最小值等于6． 答：m+n的最小值是6． （2）若3 m 与3 n 的末两位数字都相同，必须且只需3 m -3 n 是100的倍数． 即3 m -3 n =3 n （3 m-n -1）是100的倍数．又（3 n ，100）=1， 所以3 m-n -1是100的倍数，即只需3 r （=3 m-n ）的末两位数字是01． 由于3 r 的末位数字是1，所以r一定是4的倍数．令r=4t（t是正整数）所以3 r =3 4t =81 t 的末两位数字是01． 经试算可知：81 1 末两位数字是81；81 2 末两位数字是61；81 3 末两位数字是41；81 4 末两位数字是21；81 5 末两位数字是01； 当t=5时，81 t 的末两位数字是01．所以当t=5时，r=4t取得最小值是20，也就是m-n的最小值是20． 答：m-n的最小值是20．