Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（m n ）=nf（m），且当0＜x＜1时f（x）＜0（1）

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意m＞0，n∈R有f（m n ）=nf（m），且当0＜x＜1时f（x）＜0（1）求f（1）；（2）证明：当x＞1时f（x）＞0；（3）证明：函数f（x）在（0，+∞）上递增．

Answer 1

（1）取m=1，n=2得f（1 2 ）=2f（1）， ∴f（1）=0 （2）证明：设x＞1，则 0＜ 1 x ＜1 ，又0＜x＜1时，f（x）＜0， ∴ f( 1 x )＜0 ∵m＞0，n∈R有f（m n ）=nf（m）， ∴ f( 1 x )=f( x -1 )=-f(x)＜0 ∴f（x）＞0 即x＞1时，f（x）＞0 （3）证明：∵f（m α+β ）=f（m α ×m β ）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m α ）+f（m β ）， 记m α =x＞0，m β =y＞0，则f（xy）=f（x）+f（y）， 设0＜x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )=f( x 1 x 2 × x 2 )-f( x 2 )=f( x 1 x 2 )＜0 即f（x 1 ）＜f（x 2 ）， 故函数f（x）在（0，+∞）上单增．