Question

f(x)是定义在（0 ，＋∞）上的函数，对于任意的m,n∈（0，＋∞），满足f(m)+f(n)=f(mn）

当x>1时,f（x）<0.求证：f（x）是(0，+∞)上的减函数。

Answer 1

证明：
设X1,X2 ∈ （0，＋∞） 且 X1＞X2
∵对于任意的m,n∈（0，＋∞），满足f(m)+f(n)=f(mn)
∴f(m)+f(n)-f(n) = f(mn) - f(n) = f(m)=f(mn/n)
故可推： f(m)-f(n) = f（m/n）
∴f(X1)-f(X2)=f(X1/X2)
∵X1＞X2
∴X1/X2 ＞1
又由题意：当x>1时,f（x）<0
∴f(X1)-f(X2) ＜0
∴f(X1)＜f(X2)
又∵X1＞X2
故f（x）是(0，+∞)上的减函数 。

Answer 2

1) 由：对于任意的m,n∈（0，＋∞），满足f(m)+f(n)=f(mn）
--> f(x) = kx (1)
2) 由 x >1 时，f（x）<0：取 x = 2 代入(1) -->
f(2) = 2k <0 --> k < 0 --> f(x) 是(0，∞) 上的减函数。