Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析 （3）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.见解析

(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， G为AD的中点，得BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD. (2)证明：连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD， ∵PG∩BG＝G，PG?平面PGB，BG?平面PGB ∴AD⊥平面PGB. ∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB. (3)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下：取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB. 由(2)可知，PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.