Question

已知数列{a n }满足 a 1 =1， a 2 = 1 2 ，且[3+（-1） n ]a n+2 -2a n +2[（-1） n -1

已知数列{a n }满足 a 1 =1， a 2 = 1 2 ，且[3+（-1） n ]a n+2 -2a n +2[（-1） n -1]=0，n∈N*．（1）求a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 的值及数列{a n }的通项公式；（2）设b n =a 2n-1 ?a 2n （n∈N * ），求数列{b n }的前n项和S n ．

Answer 1

（1） a 3 =3， a 4 = 1 4 ， a 5 =5， a 6 = 1 8 当n为奇数时，a n+2 =a n +2 所以a 2n-1 =2n-1（3分） 当n为偶数时， a n+2 = 1 2 a n 即 a 2n = a 2 ?( 1 2 )   n-1 =( 1 2 ) n （5分） 因此，数列a n 的通项公式为 a n = n，n=2k-1 ( 1 2 ) n 2 ，n=2k （6分） （2）因为 b n =(2n-1)?( 1 2 ) n S n =1? 1 2 +3?( 1 2 ) 2 +5?( 1 2 ) 3 ++(2n-3)?( 1 2 ) n-1 +(2n-1)?( 1 2 ) n 1 2 S n =1?( 1 2 ) 2 +3?( 1 2 ) 3 +5?( 1 2 ) 4 ++(2n-3)?( 1 2 ) n +(2n-1)?( 1 2 ) n+1 两式相减得 1 2 S n =1? 1 2 +2[( 1 2 ) 2 ++( 1 2 ) n ]-(2n-1)?( 1 2 ) n-1 （8分） = 1 2 + 2[1- ( 1 2 ) n+1 ] 1- 1 2 -(2n-1)?( 1 2 ) n+1 = 3 2 -(2n+3)( 1 2 ) n+1 ∴ S n =3-(2n+3)?( 1 2 ) n （12分）