Question

如下图所示，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， AA 1 ＝4，点 D 是

如下图所示，在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， AA 1 ＝4，点 D 是 AB 的中点． (1)求证： AC ⊥ BC 1 ；(2)求证： AC 1 ∥ 平面 CDB 1 ；(3)求异面直线 AC 1 与 B 1 C 所成角的余弦值．

Answer 1

（1）先证明 AC ⊥平面 BCC 1 B 1 ，再根据性质即可证明 （2）先证明 DE ∥ AC 1 ，再根据线面平行的判定定理证明 （3）

试题分析：(1)在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中，底面三边长 AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， ∴ AC ⊥ BC .又∵ C 1 C ⊥ AC .∴ AC ⊥平面 BCC 1 B 1 . ∵ BC 1 ?平面 BCC 1 B ，∴ AC ⊥ BC 1 . (2)设 CB 1 与 C 1 B 的交点为 E ，连接 DE ，又四边形 BCC 1 B 1 为正方形． ∵ D 是 AB 的中点， E 是 BC 1 的中点，∴ DE ∥ AC 1 . ∵ DE ?平面 CDB 1 ， AC 1 ?平面 CDB 1 ， ∴ AC 1 ∥ 平面 CDB 1 . (3)∵ DE ∥ AC 1 ，∴∠ CED 为 AC 1 与 B 1 C 所成的角． 在△ CED 中， ED ＝ AC 1 ＝ ， CD ＝ AB ＝ ， CE ＝ CB 1 ＝2 ， ∴cos∠ CED ＝ ＝ . ∴异面直线 AC 1 与 B 1 C 所成角的余弦值为 . 点评：解决此类问题，要准确应用相应的判定定理和性质定理并注意相互转化，求解两条异面直线的夹角问题时，要注意夹角的取值范围.