Question

已知数列{an}满足：a1=a（a＞2），a n+1=an22(an-1)，n∈N*（1）求证：a n＞2，n∈N*；（2）求证：an+1＜

已知数列{an}满足：a1=a（a＞2），a n+1=an22(an-1)，n∈N*（1）求证：a n＞2，n∈N*；（2）求证：an+1＜an．

Answer 1

证明：（1）∵a n+1=

an2

2(an-1)

，
∴a_n+1-2=

(an-2)2

2(an-1)

，
∵a₁=a（a＞2），
∴a_n+1-2=

(an-2)2

2(an-1)

，＞0，
∴a_n+1＞2，
∴a_n＞2；
（2）a_n+1-a_n=

an2-2an(an-1)

2(an-1)

=

an(2-an)

2(an-1)

，
∵a_n＞2，
∴

an(2-an)

2(an-1)

＜0，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n．