Question

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1（1）求{an}、{bn}的通项公

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1（1）求{an}、{bn}的通项公式；（2）若cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn；（3）试比较Tn与anSn的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
∴

a1+2d＝5 a1+6d＝13

，解得

a1＝1 d＝2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）（2分）
在{b_n}中，∵S_n=2b_n-1
当n=1时，b₁=2b₁-1，∴b₁=1
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项为1公比为2的等比数列
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）（4分）
（2）c_n=a_nb_n=（2n-1）?2^n-1
T_n=1+3?2+5?2²++（2n-1）?2^n-1①
2T_n=1?2+3?2²+5?2³++（2n-3）?2^n-1+（2n-1）?2ⁿ②
①-②得-T_n=1+2?2+2?2²++2?2^n-1-（2n-1）?2ⁿ
=1+2?

2(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)?2n
=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ
=-3-（2n-3）?2ⁿ
∴T_n=（2n-3）?2ⁿ+3（n∈N^*）（8分）
（3）T_n-a_nS_n=（2n-3）?2ⁿ+3-（2n-1）（2ⁿ-1）
=（2n-3）?2ⁿ+3-（2n-1）?2ⁿ+2n-1
=2n+2-2?2ⁿ
=2（n+1-2ⁿ）（9分）
令f（x）=x+1-2^x（x≥1），则f'（x）=1-2^xln2
∵f'（x）在[1，+∞）是减函数，又f'（1）=1-2ln2=1-ln4＜0
∴x≥1时，f'（x）＜0
∴x≥1时，f（x）是减函数．
又f（1）=1+1-2=0
∴x≥1时，f（x）≤0
∴x≥1时，x+1-2^x≤0（13分）
∴n∈N^*时，n+1-2ⁿ≤0
∴n∈N^*时，T_n≤a_nS_n（14分）