Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）求证：OB2=PB?PQ+OP2；（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．

Answer 1

解答：证明：（1）连接OQ；
∵OB=OC，PR=RQ；
∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；
∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；
∴∠OQP+∠RQP=90°；
即∠OQR=90°，
∴RQ是⊙O的切线．

证明：（2）延长AO⊙O交于点C；
∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，
∴△BCP∽△AQP，
∴PB?PQ=PC?PA=（OC+OP）（OA-OP）=（OB+OP）（OB-OP）=OB²-OP²，
∴OB²=PB?PQ+OP²．

解：（3）当RA=OA时，∠R=30°，易得∠B=15°，当R与A重合时，∠B=45°；
∵R是OA延长线上的点，
∴R与A不重合，
∴∠B≠45°；
又∵RA≤OA，
∴∠B＜45°，
∴15°≤B＜45°．