Question

（2014?长宁区一模）如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，BFAF=mn（m，n＞0），D是CF中点，联结AD并

（2014?长宁区一模）如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上一点，BFAF=mn（m，n＞0），D是CF中点，联结AD并延长交BC于E．（1）求BEEC的值；（2）若BE=2EC，求证：CF⊥AB．

Answer 1

解答：（1）解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG=∠DCE，∠DGF=∠DEC，
∵D是CF的中点，
∴CD=DF，
在△DCE和△DFG中，

∠DFG＝∠DCE  DF＝CD  ∠GDF＝∠EDC

，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC=GF，
∵

BF

AF

=

m

n

，
∴

AF

AB

＝

n

m+n

，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴

AF

AB

＝

FG

BE

＝

n

m+n

，
∴

BE

EC

＝

m+n

n

；

（2）证明：若BE=2EC，则BE：EC=2，
由（1）知，

m+n

n

=2，
解得：m=n，
∴点F是AB的中点，
∵AC=BC，
∴CF⊥AB．