Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=3an+4（n∈N*）（1）求证：数列{an+2}是等比数列；（2）设bn=nan（n∈N*）

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=3an+4（n∈N*）（1）求证：数列{an+2}是等比数列；（2）设bn=nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项的和Tn．

Answer 1

（1）∵a_n+1=3a_n+4，∴a_n+1+2=3（a_n+2），…（3分）
又∵a₁=1，∴a₁+2=3≠0，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列     …（6分）
（2）由（1）得  a_n+2=3×3^n-1=3ⁿ
∴a_n=3ⁿ-2，
b_n=n?a_n=n?3ⁿ-2n  …（8分）
∴T_n=（1×3¹-2×1）+（2×3²-2×2）+…+（n?3ⁿ-2n）
=1×3¹+2×3²+…+n?3ⁿ-2（1+2+…+n）
=1×3¹+2×3²+…+n?3ⁿ-2×

n(n+1)

2

=1×3¹+2×3²+…+n?3ⁿ-n²-n  …（10分）
记S_n=1×3¹+2×3²+…+n?3ⁿ
则3S_n=1×3²+…+（n-1）?3ⁿ+n?3ⁿ⁺¹
∴S_n-3S_n=（3¹+3²+…+3ⁿ）-n?3ⁿ⁺¹
=

3(1?3n)

1?3

-n?3ⁿ⁺¹
=

?(2n?1)?3n+1?3

2

∴S_n=

(2n?1)?3n+1+3

4

   …（12分）
∴T_n=

(2n?1)?3n+1+3

4

-n²-n．…（13分）