Question

（2012?鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，c

（2012?鞍山）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=13，延长OE到点F，使EF=2OE．（1）求⊙O的半径；（2）求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

解答：（1）解：连OA，如图谨差，
∵直径CE⊥兆晌野AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB，
而cos∠ACB=

1

3

，
∴cos∠BOD=

1

3

，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（族喊3x）²，解得x=

2

2

，
∴OB=3x=

3 2

2

，
即⊙O的半径为

3 2

2

；

（2）证明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=

9 2

2

，
∴

OB

OF

=

1

3

，
而

OD

OB

=

1

3

，
∴

OB

OF

=

OD

OB

，
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线．