Question

如图 在平面直角坐标系中 矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上，OA=16cm，OC=8cm

现有两动点P,Q分别从点O,C同时出发，点P在线段OA上沿OA方向以2cm/s的速度匀速运动点Q在线段CO上以1cm/s的速度匀速运动，设运动时间为t s.
（1）用含t的式子表示△OPQ的面积S。
（2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由。
（3）当t为何值时，△OPQ与△ABP相似？

Answer 1

CQ=t，OP=2t，
∴OQ=8-t，
∴SΔOPQ=1/2OP*OQ
=1/2*2t*(8-t)
=-t^2+8t，
⑵SΔBCQ=1/2*t*16=8t，
SΔABP=1/2(16-2t)*8=64-8t，
∴S四边形OPBQ=S矩形-(SΔBCQ+SΔABP)
=128-(64-8t+8t)
=64，
∴S四边形OPBA为定值64。
⑶①ΔOPQ∽ΔAPB，
OP/AP=OQ/AB，即2t/(16-2t)=(8-t)/8，
64-16t+t^2=8t，t^2-24t+64=0，
t=(24±8√5)/2=12±4√5，
∴t=12-4√5，
②当ΔOPQ∽ΔABP，
OP/AB=OQ/AP，
2t/8=(8-t)/(16-2t)，
t=2，
∴当t=2或12-4√5时，两个三角形相似。