Question

如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结

如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC= ，求BN的长．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BN= ．

试题分析：（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案； （2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可； （3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可． （1）证明：∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO， 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BCO=90°， 即∠FCO=90°， ∴CF是⊙O的切线； （2）证明：如图，∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO， 即∠3=∠1， ∴∠3=∠2， ∵∠4=∠D， ∴△ACM∽△DCN； （3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在Rt△COE中，cos∠BOC= ， ∴OE=CO?cos∠BOC=4× =1， 由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得： ， ， ∵AB是⊙O直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2 ， ∵△ACM∽△DCN， ∴  ， ∵点M是CO的中点，CM= AO= ×4=2， ∴CN= ， ∴BN=BC-CN=2 - = ．