Question

如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE。 （1）求证：

如图所示，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作圆⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE。 （1）求证：直线DE是圆⊙O的切线； （2）连结OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值。

Answer 1

证明：（1）连结OD、OE、BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠CDB=∠ADB=90° ∵E点是BC的中点， ∴DE-CE=BE， ∵OD=OB，OE=OE， ∴△ODE≌△OBE（SSS）， ∴∠ODE=∠OBE= 90° ∴直线DE是⊙O的切线； 解：（2）作OH⊥AC于点H，由（1）知，BD⊥AC， EC=EB， ∵OA= OB ∴OE∥AC，且OE= AC， ∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF， ∵CF=OF ， ∴△DCF≌△EOF（AAS） ∴ DC=OE=AD， ∴BA=BC， ∴∠A=45° ∵OH⊥AD ∴OH =AH=DH， ∴CH=3OH， ∴tan ∠ACO= 。