Question

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为 2 -1，直线l：y=-x-

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为 2 -1，直线l：y=-x- 2 与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线ι与⊙B的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵直线l的解析式是y=-x- 2 ， ∴直线与y轴的交点坐标是（0， - 2 ）， 令y=0，则-x- 2 =0，解得，x= - 2 ， ∴直线与x轴的交点是（ - 2 ，0） ∴OA=OC，所以∠CAO=45°． （2）如图示，连接MB并延长，交旋转后的直线l于点N，过B作BP⊥AN于P， 当⊙B第一次与⊙O相切时，即两圆外切， ∴d= 2 -1+1 = 2 ， ∴⊙B的圆心的坐标应为（1，1）， ∵点B的坐标为（4，1） ∴第一次相切，是经过了3s， 又∵直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转， ∴3s钟转了90°， 由题意知，NM=AM=AO+OM= 2 +1 ， ∴ NB= 2 ， ∴BP=1， 即d=r=1， 此时，点B到直线的距离等于半径1，所以直线与⊙B相切．