Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ，直线l的参数方程为x＝tcosαy＝1+tsinα（t为参数，0≤α＜π

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ，直线l的参数方程为x＝tcosαy＝1+tsinα（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

（1）曲线C的极坐标方程ρ=

4cosθ

sin2θ

化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，
得到曲线C的直角坐标方程为y²=4x，
故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；
（2）直线l的参数方程为

x＝tcosα y＝1+tsinα

（ t为参数，0≤α＜π）．
故l经过点（0，1）；
若直线l经过点（1，0），则α＝

3π

4

，
∴直线l的参数方程为

x＝tcos 3π 4 ＝? 2 2 t y＝1+tsin 3π 4 ＝1+ 2 2 t

（t为参数）．
代入y²=4x，得t2+2

6

t