Question

（2004?天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；

（2004?天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②1PA＝1PB+1PC；③PA?PE=PB?PC．其中，正确结论的个数为（　　）A．3个B．2个C．1个D．0个

Answer 1

解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则

PA

PC

=

PB

PE

，

PA

PB

=

PC

PE

，

PA

PB

+

PA

PC

=

PC

PE

+

PB

PE

≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴

PA

PB

＝

PC

PE

∴PA?PE=PB?PC，故③正确；
故选B．