Question

（2014?宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，

（2014?宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=25，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=

OD

OF

=

2

5

，
设⊙O的半径为R，则

R

R+5

=

2

5

，
解得R=

10

3

，
∴AB=2OD=

20

3

．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=

AE

AF

=

AE

5+ 20 3

=

2

5

，
∴AE=

14

3

，
∴BE=AB-AE=

20

3

-

14

3

=2．