Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中点A在点B的左侧．（1）求

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中点A在点B的左侧．（1）求△ABC的面积；（2）设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

解答：解：如图
（1）令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
令x=0，则c=3
∴C（0，3）
∴△ABC的面积为：

1

2

(3?1)×3＝3；

（2）y=x²-4x+3=（x-2）²-1
∴D（2，-1）
设BC的解析式为y=kx+b，（k≠0）
∴

3k+b＝0 b＝3.

.解，得

k＝?1 b＝3.

∴直线BC的解析式为y=-x+3，
对称轴直线x=2与x轴交于点F，与BC交于点E，
可得F（2，0），E（2，1）
连接AE．
∴AF=FB=FE=1．
∵EF⊥AB，
∴△AEF和△EFB均为等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠FEB=45°
∴∠AEB=90°
∴∠AEC=∠AFP=90°
∵∠APD=∠ACB，
∴△AFP∽△AEC（5分）
.

∴ AF AE ＝ FP EC . ∵AF＝EF＝1，OC＝3 ∴AE＝ 2 ，CE＝2 2 . ∴ 1 2 ＝ PF 2 2 ， ∴PF＝2.

∴点P的坐标为（2，2）
同理可得P的坐标为（2，-2）
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．