Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上，半径为2的圆C位于x轴上方，且与直线 根号3x-y+2=0相切．

（1）求圆C的方程．
（2）从圆外一点P（m，n）向该圆引切线PT，切点为T，已知点Q（2，2），且|PT|=|PQ|．
①试判断点P是否总在某一定直线l上？若是，求出直线l的方程；若不是，请说明理由．
②求|PT|的最小值，及|PT|取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

(1)设圆C:x^2+(y-b)^2=4,与直线√3x-y+2=0相切，
∴|-b+2|/2=2,
b-2=土4，b>0,
∴b=6,圆C的方程是x^2+(y-6)^2=4.
(2)①由|PT|=|PQ|得PT^2=PQ^2，即
m^2+(n-6)^2-4=(m-2)^2+(n-2)^2,
化简得2（2m-2)-4(2n-8)-4=0,
m-1-2n+8-1=0,
m-2n+6=0,为所求直线l的方程。
②m=2n-6,
∴PT^2=(2n-6)^2+(n-6)^2-4
=4n^2-24n+36+n^2-12n+36-4
=5n^2-36n+68
=5(n-18/5)^2+16/5,
∴当n=18/5时|PT|取最小值=4√5/5，此时，P(6/5，18/5).