Question

求函数y= 2sinx(1-sinx) 3-cos2x+4sinx ，x∈（0， π 2 ）的值域

求函数y= 2sinx(1-sinx) 3-cos2x+4sinx ，x∈（0， π 2 ）的值域．

Answer 1

y= 2sinx(1-sinx) 3-(1-2 sin 2 x)+4sinx = - sin 2 x+sinx sin 2 x+2sinx+1 ． 设t=sinx，则由x∈（0， π 2 ）?t∈（0，1）． 对于y= - t 2 +t t 2 +2t+1 = -(t+1 ) 2 +3(t+1)-2 (t+1 ) 2 =-1+ 3 t+1 - 2 (t+1 ) 2 ， 令 1 t+1 =m，m∈（ 1 2 ，1）， 则y=-2m 2 +3m-1=-2（m- 3 4 ） 2 + 1 8 ． 当m= 3 4 ∈（ 1 2 ，1）时，y max = 1 8 ， 当m= 1 2 或m=1时，y=0． ∴0＜y≤ 1 8 ，即函数的值域为y∈（0， 1 8 ]．