Question

设a是实数，f（x）=a-22x+1（x∈R）（1）证明：不论a为何实数，f（x）均为增函数（2）试确定a的值，使得f

设a是实数，f（x）=a-22x+1（x∈R）（1）证明：不论a为何实数，f（x）均为增函数（2）试确定a的值，使得f（-x）+f（x）=0恒成立．

Answer 1

证明：（1）设存在任意x₁＜x₂，
∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1?2x2＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=a?

2

2x1+1

-（a?

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴不论a为何实数，f（x）均为增函数．
解：（2）若f（-x）+f（x）=0，则f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0
∴a=1，
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x?1

2x+1

满足f（-x）+f（x）=0恒成立．