Question

如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给

如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；（2）D1C⊥AC1；（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；（4）在棱AA1上不存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的15．其中正确的个数有（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

解：（1）由题意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°，所以（1）正确．
（2）由题意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四边形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；（2）正确；
对于（3）在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点，因为
DC=DD₁=2AD=2AB，如图HG

∥

.

1

2

D1E，所以E为中点，正确．
（4）设AB=1，则棱柱的体积为：

1+2

2

×1×1=

3

2

，当F在A₁时，A₁-BCD的体积为：

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

，显然体积比为

2

9

＞

1

5

，所以在棱AA₁上存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的

1

5

，所以（4）不正确．
正确结果有（1）、（2）、（3）．
故选C．