Question

（12分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM. （1）观

（12分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM. （1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA:PB:PC=1: : ，试判断△PMC的形状，并说明理由.





Answer 1

解：（１）AP=CM. 证明:因为△ABC是等边三角形,所以AB="BC," ∠ABC＝60°,而△PBM也是等边三角形,所以PB="MB," ∠PBM＝60°,则∠ABP＝∠MBC.所以△ABP≌△CBM．所以AP＝CM. (2) △PMC是直角三角形. 因为 PA:PB:PC=1: : ,设PA="k," PB= k, PC= k.因为△PBM是等边三角形, 所以PM= PB= k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM="PA=k." 则, , , ,且 ,即 .所以△PMC是直角三角形.且∠PMC＝90°.

略