Question

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点 P(1， 3 2 ) 且离心率为 1 2 ．

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点 P(1， 3 2 ) 且离心率为 1 2 ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）椭圆的标准方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 （4分） （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， y=kx+m x 2 4 + y 2 3 =1 得：（3+4k 2 ）x2+8kmx+4（m 2 -3）=0， ∵△＞0，∴3+4k 2 -m 2 ＞0， x 1 + x 2 =- 8mk 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4( m 2 -3) 3+4 k 2 ∴ y 1 y 2 = 3( m 2 -4 k 2 ) 3+4 k 2 （6分） ∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD ?k BD =-1， ∴y 1 y 2 +x 1 x 2 -2（x 1 +x 2 ）+4=0，∴7m 2 +16mk+4k 2 =0， ∴m 1 =-2k， m 2 =- 2 7 k，且均满足3+4k 2 -m 2 ＞0，（9分） 当m 1 =-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾 当 m 1 =- 2 7 k 时，l的方程为 y=k(x- 2 7 ) ，则直线过定点 ( 2 7 ，0) ∴直线l过定点，定点坐标为 ( 2 7 ，0) （12分）