Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图（1

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ACD≌△CEB：②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图⑵的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图⑶的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

Answer 1

证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3 又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ADC≌△CEB； ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE （2）∵∠ACB=∠CEB=90°， ∴∠1+∠2=∠CBE+∠2=90°， ∴∠1=∠CBE 又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ACD≌△CBE， ∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE； （3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等） ∵∠ACB=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD。