Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn，…（n∈N*）．若a∈（1，3），则x1+x2+…+x2n-1+x2n=______．（用n表示）

Answer 1

由①当x∈[1，3）时，f(x)＝1?|x?2|＝

x?1(1≤x＜2) 3?x(2≤x＜3)

，
可画出f（x）在[1，3）上的图象，根据②f（3x）=3f（x），只要将f（x）在[1，3）上的图象沿x轴伸长到原来的3倍，
再沿y轴伸长到原来的3倍即可得到f（x）在[3，9）上的图象，
以此类推，可得到在[9，27），[27，81）…上的图象，
关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点，可看成函数y=f（x）与y=a图象交点的横坐标，由函数y=f（x）图象的对称性可知：

x1+x2

2

＝6，

x3+x4

2

＝6×3，

x5+x6

2

＝6×32，…如图，
所以就有

1

2

(x1+x2+…+x2n?1+x2n)＝6+6×3+6×32+…+6×3n?1＝

6(1?3n)

1?3

＝3(3n?1)，
因此x1+x2+…+x2n?1+x2n＝6(3n?1)