（2012?安庆模拟）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-2）2=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x0
（2012?安庆模拟）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-2）2=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x0，x02），且x0≠0，x0≠±1，过点P作...
（2012?安庆模拟）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-2）2=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x0，x02），且x0≠0，x0≠±1，过点P作圆C2的两条切线，并且分别交抛物线C1于A、B两点．（1）设PA、PB的斜率分别为k1、k2，试求出k1+k2关于x0的表达式；（2）若PM?AB＝0时，求x0的值；（3）若x0=-2，求证：直线AB与圆C2相切．
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（1）由于x0≠±1，知过P作圆M的切线，切线斜率存在，
设过点P的切线方程：y＝k(x?x0)+x02，
即kx?y?kx0+x02＝0与圆C2相切，
故有：
＝1，
整理得：(x02?1)k2+2x0(2?x02)k+(2?x02)2?1＝0．
依题意，k1，k2是上述方程的两根，
故有k1+k2＝
．…（4分）
（2）设A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x1≠x2）
由
，
得x2?kx+kx0?x02＝0，
又方程有一根为x0，
则另一根为k-x0，
∴x1=k1-x0，x2=k2-x0，
∴kAB＝
＝x1+x2＝k1+k2?2x0，
由（1）知kAB＝
?2x0＝
，
又x0≠0，所以kPM＝
，
?
＝0，
∴
?(
)＝?1，
解得x02＝3，
∴x0＝±
…（9分）
（3）证明：由（1），（2）知kAB=x1+x2，
当x0=-2时，k1+k2＝?
，k1k2=1，
∴kAB＝k1+k2?2x0＝
，x1x2＝(k1?x0)(k2?x0)＝k1k2?x0(k1+k2)+x02
=1+2×(?
)+4＝?
，
而AB：y?x12＝(x1+x2)(x?x1)，
即y＝(x1+x2)x?x1x2＝
x+
，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圆C2的圆心M（0，2），
点M到AB的距离是
设过点P的切线方程：y＝k(x?x0)+x02，
即kx?y?kx0+x02＝0与圆C2相切，
故有：
| |kx0+2?x02| | ||
|
整理得：(x02?1)k2+2x0(2?x02)k+(2?x02)2?1＝0．
依题意，k1，k2是上述方程的两根，
故有k1+k2＝
| 2x0(x02?2) |
| x02?1 |
（2）设A(x1，x12)，B(x2，x22)，（x1≠x2）
由
|
得x2?kx+kx0?x02＝0，
又方程有一根为x0，
则另一根为k-x0，
∴x1=k1-x0，x2=k2-x0，
∴kAB＝
| x12?x22 |
| x1?x2 |
由（1）知kAB＝
| 2x0(x02?2) |
| x02?1 |
| ?2x0 |
| x02?1 |
又x0≠0，所以kPM＝
| x02?2 |
| x0 |
| PM |
| AB |
∴
| ?2x0 |
| x02?1 |
| x02?2 |
| x0 |
解得x02＝3，
∴x0＝±
| 3 |
（3）证明：由（1），（2）知kAB=x1+x2，
当x0=-2时，k1+k2＝?
| 8 |
| 3 |
∴kAB＝k1+k2?2x0＝
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| 3 |
=1+2×(?
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
而AB：y?x12＝(x1+x2)(x?x1)，
即y＝(x1+x2)x?x1x2＝
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圆C2的圆心M（0，2），
点M到AB的距离是
| |4×0?3×2+1| |
