将函数f(x)=arctan((1-x)/1+x))展开成x的幂级数,并写出它的收敛域.

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PasirRis白沙
高粉答主

推荐于2018-03-13 · 说的都是干货,快来关注
知道大有可为答主
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1、本题的解答前提是必须知道一个恒等式:

      arctanx + arctan[(1-x)/(1+x)] = π/4

2、具体解答过程如下,若点击放大,图片更加清晰;

3、如有疑问、质疑,欢迎提出,有问必答、有疑必释、有错必纠。


纯黄金眼
推荐于2018-03-01 · TA获得超过157个赞
知道答主
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解1:注意到一个等式的话,这个题就比较简单了
tan(π/4+arctanx)=(1+x)/(1-x)
所以 arctan[(1+x)/(1-x)]=arctan[tan(π/4+arctanx)]=π/4+arctanx
所以原式=π/4+arctanx
这样就可以直接用arctanx的展开式做了|x|+∞]
所以原式=π/4+arctanx=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
解2:(来自星光下的守望者
令g(x)=arctan[(1+x)/(1-x)],g(0)=π/4
∫[0->x]g'(t)dt = g(x)-g(0)=g(x)-π/4
g'(x)=[(1+x)/(1-x)]'/[1+(1+x)��/(1-x)��]=1/(1+x��)
g(x)=∫[0->x]g'(t)dt+π/4=∫[0->x] 1/(1+t��)dt+π/4
易知1/(1+t��)=1-t^2+t^4-t^6+…… |t|x] (1-t^2+t^4-t^6+……) dt
=π/4+(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……)
=π/4+∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/(2n+1) [n=0->+∞]
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茹翊神谕者

2021-05-23 · TA获得超过2.5万个赞
知道大有可为答主
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简单计算一下即可,答案如图所示

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