如图,在圆心O中,弦AB⊥弦CD于E,弦AG⊥弦BC于F点CD与AG相交于M点 (2)如果AB=12,CM=4,求圆心O的半径 130
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∵CE⊥AB,AF⊥BC,且CE,AF相交于点M
∴点M是△ABC的垂心
圆O是△ABC的外接圆,O为外心,设O到AB的距离为ON
垂心有一条性质:
三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
即有 CM=2ON,而半径R=OB
∴R=√(ON²+AB²/4)
=1/2*√(CM²+AB²)
=1/2*4√10
=2√10
垂心性质简单证明:
如下图,延长半径BO交圆于H,则BH为直径
∴∠BAH=∠BNO=90°,又CE⊥AB
∴ON∥AH∥CE,即 AH∥CM
同理,∠BCH=∠BFA=90°,即CH∥AF
∴□AHCM是平行四边形,即有 AH=CM
而△ABH中,N为AB中点,
∴即有 ON=1/2AH=1/2CM
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