Question

如图一的题目，为什么f'（x）在x＝0时是无意义的，而在书中的分析中f'（0）又是有意义的？

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Answer 1

题目哪里说f‘（0）无意义了？
题目是说f（x）是个分段函数，当x≠0的时候，按照那个定积分来得到f（x）的函数式，来计算相对应的函数值。当x=0的时候，人为的指定函数值就是0
所以这个函数在x=0的时候是有定义的。
所以这个题目首先需要证明根据这分段函数表达式，x=0的时候是连续的。
如果是连续的，然后计算当x≠0的时候，f’（x）的导数表达式。同时直接根据导数的定义公式求在x=0点处的导数f‘（0）。
如果发现f’（x）在x=0点处也是连续的。那么就继续求f‘’（0）

追问

为什么lim x→0 f（x）/x＝lim x→0 f'（x）？

追答

首先直接根据导数的定义公式，f‘（0）=lim（x→0）（f（x）-f（0））/x=lim（x→0）f（x）/x
到这一步，都是导数定义公式。也利用了f（0）=0的设定。
但是lim（x→0）f（x）/x不方便直接算，其实就是那个定积分不是很容易算。那么前面已经求出当x≠0的时候f’（x）的表达式，很容易就能证明当x→0的时候，f‘（x）的极限也是0，即当x→0的时候，f‘（x）是无穷小。
那么lim（x→0）f（x）/x就是0/0的未定型，可以用洛必达法则，分子分母分别求导数来计算。
即lim（x→0）f（x）/x=lim（x→0）f’（x）/（x）‘=lim（x→0）f’（x）
刚才说了，根据x≠0的时候的f’（x）的表达式，很容易就能证明当x→0的时候，f‘（x）的极限也是0。所以f‘（0）=0，且等于f’（x）在x=0处的极限，即f‘（x）在x=0点处也是连续的。
其实这个分析中，省略了很多的步骤。
1、省略了证明f（x）在x=0点处是连续的证明。
2、在计算到f‘（0）=lim（x→0）（f（x）-f（0））/x=lim（x→0）f（x）/x这一步的时候，省略了证明lim（x→0）f’（x）=0，然后又省略了根据洛必达法则计算lim（x→0）f（x）/x=lim（x→0）f’（x）=0的过程。
所以这个解析，没有比较扎实的基本功，确实难以理解。

追问

非常详细，辛苦了，追加20分给你，谢谢！

Answer 2

不是无意义，而是因为在x=0处不连续，不能直接求导

追问

是f（x）在x＝0连续，但是f'（x）在x＝0处不连续对吗？

追答

都不连续