高数题目
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解：这样的题一般要考虑用微元体积法积分。
可以有两种方案：
方案一：薄壁圆筒法。以y轴为中心，x为半径，厚度为dx，高为y=x^(3/2)截取薄壁圆筒，求其微元体积后对x在(0,4)上积分即可。
微元体积dV=2πxdx*x^(3/2)=2πx^(5/2)dx
故体积V=∫dV=∫(0,4) 2πx^(5/2)dx=2/7*2πx^(7/2)|(0,4)
=2/7*2π*4^(7/2)=512π/7 （体积单位）
方法二：薄片法。考虑用平行于x轴的“刀片”来片这个旋转体，则每个环状薄片的内径为x=y^(2/3)，外径为4，厚度为dy（注意这里是对y积分了）。求其微元体积后对y在(0,4^(3/2))上积分即可。
dV=π{4²-[y^(2/3)]²}dy
故体积V=∫dV=∫(0,8) π{4²-[y^(2/3)]²}dy=512π/7 （体积单位）
可以有两种方案：
方案一：薄壁圆筒法。以y轴为中心，x为半径，厚度为dx，高为y=x^(3/2)截取薄壁圆筒，求其微元体积后对x在(0,4)上积分即可。
微元体积dV=2πxdx*x^(3/2)=2πx^(5/2)dx
故体积V=∫dV=∫(0,4) 2πx^(5/2)dx=2/7*2πx^(7/2)|(0,4)
=2/7*2π*4^(7/2)=512π/7 （体积单位）
方法二：薄片法。考虑用平行于x轴的“刀片”来片这个旋转体，则每个环状薄片的内径为x=y^(2/3)，外径为4，厚度为dy（注意这里是对y积分了）。求其微元体积后对y在(0,4^(3/2))上积分即可。
dV=π{4²-[y^(2/3)]²}dy
故体积V=∫dV=∫(0,8) π{4²-[y^(2/3)]²}dy=512π/7 （体积单位）
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