Question

设抛物线C:x^2=2py的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l

设抛物线C:x^2=2py的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若角BFD为90°，三角形ABD面积为4倍根号2,求p的值及圆F的方程;

BD为什么等于2P？？

Answer 1

　　解：【只讨论p≥0的情形。p≤0的情形类似，不做讨论】∵抛物线C为x^2=2py，∴焦点F(0,p/2)、l的方程为y=-p/2。∴F到准线l的距离为p，又∠BFD=90°，FB=FD，y轴垂直平分BD，∴BD=2p，BF=FD=AF=√2p。
　　设A(x,y)，则△ABD的高h也是AF(根据抛物线的定义AF=A到l的距离y+p/2)，∴S△ABD=(1/2)BD*AF=p(√2)p=4√2 。∴p=2。
　　∴以F（0,1）为圆心、AF=2√2为半径的圆的方程为x^2+(y-1)^2=8。供参考。