Question

多重积分的数学定义

Answer 1

令n为大于1的自然数。考虑所谓的半开n维矩形（下面简称矩形）。对于平面，n= 2，而多重积分就是双重积分。
。
将每个区间[ai,bi)分成有限个不重叠的子区间，每个都是左闭右开。将子区间记为Ii。则，所有所有如下形式的子矩形的族

是T的一个划分，也即，子矩形C是互不重叠的，而且它们并集为T。C中的子矩形的直径按照定义是C中最大的边长，而T的划分的直径就是划分中的子矩形的最大直径。
令f:T→R为定义在T上的函数。考虑如上定义的T的划分

其中m是正整数。如下形式的和称为黎曼和

其中，对于每个k，点Pk在Ck中，而m(Ck)是笛卡尔积为Ck的区间的边长之积。
函数f称为黎曼可积，如果如下极限存在

其中极限取遍所有直径最大为δ的T的划分。若f黎曼可积，S称为f在T上的黎曼积分。记为
定义在任意有界n维集合上的函数的黎曼和可以通过将函数延拓到一个半开半闭矩形上来求出，其取值在原来的定义域之外为0。然后，原来的函数的积分就定义为延展的函数在矩形区域中的积分（如果存在的话）。
下文中n维黎曼积分简称多重积分。 多重积分具有很多与单变量函数的积分一样的性质（线性，可加性，单调性，等等）。而且，和单变量情况一样，可以用多重积分找出函数在给定集合上的积分。具体来讲，给定集合DRn和D上的可积函数f，f在定义域上的平均值为
，
其中m（D）是D的测度。 TR2是，积分

是f在T上的双重积分，而若TR3，积分

是f在T上的三重积分。
注意，按常规，双重积分用两个积分号，而三重积分有三个；这只是记法上方便，也是为了通过重复积分来计算多重积分（参看本条目后文）。