Question

∫(0,x) tf(t-x) dt 的导数

Answer 1

把积分方程转化为微分方程，对两边同时求导得到
df/dx=cosx+xf-xf-∫f(t)dt
再求导
f''(x)=-sinx-f(x)
f''+f=-sinx
变成了二阶线性常系数微分方程
然后就是先求齐次通解再求非齐次特解再相加的过程，就是一般的这类微分方程的解题办法，会了吧。

Answer 2

换元法:令u＝t-x,则①∫(-x,0)(x＋u)f(u)d(x＋u).【说明:注意，由于t是从0~x变化,所以当t＝0时，u＝-x,t＝x时，u＝0，即u是从-x变化到0，并不是从0~-x，本题被积函数是f(t-x),相对来说不易弄混上下限，倘若被积函数是f(x-t),则需要留意上下限。】因为x对u来讲是常数，所以①式为:② x∫(-x,0)f(u)du -∫(-x,0)uf(u)du.然后给②式求导，接下来的步骤较为简单，利用变限积分的求导法则和积分上下限的变换求解(参考高等教育出版社，魏毅强主编的《微积分与数学模型教程》上册 P191.)