Question

考研数学微分方程的应用

考研数学微分方程的应用第一个划横线是为什么这么设置，以及得到第二个横线的过程。

Answer 1

第1个横线，很短的时间内，浓度可以近似为不变，
这时浓度乘以盐水量的变化量，就得到含盐量的变化量，
而盐水量的变化量，是与时间成正比的，不妨设为2dt

第2个横线，是将第一个横线，使用变量分离的方法，
dx/x= -2dt/(100+t)
两边同时积分，得到
lnx=-2ln(100+t)+X 其中X是任意常数，这里不写成C，是为了避免与下面的C混淆

即lnx=ln[e^X(100+t)^(-2)]
即x=C(100+t)^(-2) 其中C=e^X
得到微分方程的解

Answer 2

是这样理解的：t时刻盐水的浓度为x/(100+t)，单位是kg/l。从t到t+dt的时间内，可以认为排出盐水的浓度是不变的（差异很小），进来的是清水，排出去的是盐水，因此容器内净盐的质量相当于减少了，减少的量仅与排出盐水的体积和盐水的浓度有关，而与进来的清水无关。排出盐水的浓度自然是x/(100+t)，而体积则等于流量乘以时间，流量是2l/min，时间是dt min，所以排出盐水的体积就是2l/min*dt min=2dt l。所以从t到t+dt的时间内，容器内含盐量的变化量是
dx=-x/(100+t)*2dt
"-"表示减少。
分离变量得
dx/x=-2dt/(100+t)
两边分别积分，得
lnx-lnx0=-2[ln(100+t)-ln100]
其中x0=10
化简得
x=100000/(1+x)²
下略。