Question

设行列式D= . 3 1 −1 2 −5 1 3 −4 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 .

设行列式D=
.
3 1 −1 2
−5 1 3 −4
2 0 1 −1
1 −5 3 −3
.设行列式D=
.
3 1 −1 2
−5 1 3 −4
2 0 1 −1
1 −5 3 −3
.
，计算A31+3A32-2A33+2A34的值，其中Aij表示行列式中元素aij的代数余子式．

Answer 1

A31+3A32-2A33+2A34
=|(3,1,-1,2)(-5,1,3,-4)(1,3,-2,2)(1,-5,3,-3)| 【将r3的各元素替换成(1,3,-2,2)】
=|(3,1,-1,2)(-5,1,3,-4)(1,3,-2,2)(5/2,-1/2,0,0)| 【r4+r3*(3/2)】
=|(8,1,-1,2)(0,1,3,-4)(16,3-2,2)(0,-1/2,0,0)| 【c1+c2*5】
=(-1/2)*|(8,-1,2)(0,3,-4)(16,-2,2)| 【按r4展开】
=(-8)*|(1,-1,1)(0,3,-2)(2,-2,1)| 【提出 c1、c3公因子】
=(-8)*|(1,-1,1)(0,3,-2)(0,0,-1)| 【r3+r1*(-2)】
=(-8)*|(3,-2)(0,-1)| 【按 c1 展开】
=(-8)*[3*(-1)-(-2)*0]
=24

追问

请问r3怎么替换啊

追答

就是第三行的各元素【换成】《式子》中的Aij的系数：1、3、-2、2 。这样，【新】《行列式》的各 A3j 与原行列式的 A3j 相等，而新行列式的值显然等于 a31A31+a32A32+a33A33+a34A34 。这就是所要求的值。

追问

对不起 我不太明白 为什么非要换第三行呢 别的行为什么不换

追答

这个【要计算】的式子和第三行的元素相关，当然就替换第三行的！若是计算式与第一列的相关，则替换第一列的。比如，若计算：A11+2A21-3A31+4A41 ，则需替换第一列的元素成 1、2、-3、4 。

追问

谢谢

那请问A11-A21+A31-A41呢

追答

很明显，这个式子与第一列相关。所以把第一列的元素替换：a11=1、a21=-1、a31=1、a41=-1 ，计算新的行列式即可。

Answer 2

把原来行列式D的第3行，替换为

1 3 -2 2，计算这个新行列式，即可：

追问

为什么呀？请问怎么替换？

追答

将这个新行列式，按第3行展开，就是1*A31+3*A32-2*A33+2*A34
也即所要求的值

追问

对不起 我不太明白 为什么非要换第三行呢 别的行为什么不换

追答

这是利用的Laplace定理，书上有解释