Question

线性代数 行列式。 副对角线行列式的公式推导，我想问下黑框框中的为什么错误(通过展开公式)

Answer 1

按第一列展开，是得到你的那个第一个中括号。但是剩下的部分，还是n阶矩阵。

第二项指数不应该是2+（n-1)了，应该是1+（n-1)。

对角行列式是三角形行列式的特例，就是除主对角线上的元素外其余元素为0，它的值是主对角线上的n个元素之积。

满足这样的条件的矩阵是对角行列式，值的符号当然是由主对角线上的n个元素之积的符号确定。当然如果说是项的符号它是正的，因为其逆序数是0。

扩展资料：

在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

Answer 2

副对角线行列式前面的系数有两种计算方法
1. 换行。 换行的概念是任意两行换行，行列式结果变号。如果直接将最后一行换到第一行，倒数第二行换到第二行，那么将副对角线行列式换成主对角线行列式需要，当n为奇数时，就是（n-1）/2次，偶数是n/2次，但无法确定这个次数的奇偶性，所以这样换行是行不通的。因此我们用另一种换行，我们将最后一行换到倒数第二行，再将这个倒数第二行换到倒数第三行，最终，最后一行换到第一行用了n-1次，同理，倒数第二行换到第二行用了n-2次，……最终第一行变成最最后一行，所有的次数为n-1+n-2+……+3+2+1=n·（n-1）/2
2. 用角标计算。 第一个数为a1,n ,行列式等于a1,n·Dn-1,此时行列式变为了n-1阶，因此Dn=(-1)^(n+1)·Dn-1,
同理
Dn-1=（-1）^(n)·Dn-2
……
D3=（-1）^2·D2
故前面的系数为(-1)^(2+3+…+n+n+1）
即(-1)^(n+3)n/2,而(-1)^(n+3)n/2等于(-1)^(n-1)n/2,因为他们差了2n.

Answer 3

副对角线 的逆序数排列是
a1n a2n-1 a3n-2 .. ... an1
对于第一个a1n逆序数为0 第二个 逆序数是1 第三个逆序数是2
如此累和 0 +1+2+。。。+n-1
等比数列求和公式为(n-1)n/2
所以-1 的幂是(n-1)n/2

追问

黑框框是这样推导的

追答

等价的

按照你的也是这样

追问

我知道我哪里错了，谢谢

Answer 4

你难道没有发现两种计算方式得到的答案n（n+1）/2和n（n—1）/2的奇偶性是一样的吗？想想第一种展开方式就一定错吗？

Answer 5