Question

高中数学参数方程

Answer 1

解：过点A(1,0)的斜率为k的直线l的参数方程为：
x=1+t
y=kt
直线l与抛物线y²=8x交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，则有
(kt)²=8(1+t)
k²t²-8t-8=0
所以有
t1+t2=8/k²
t1t2=-8/k²
于是MN的中点P(x,y)满足
x=(x1+x2)/2=(1+t1+1+t2)/2=(2+8/k²)/2=1+4/k²
y=(y1+y2)/2=(kt1+kt2)/2=k*8/k²/2=4/k
所以有x=1+4/k²=1+(2/k)²=1+(y/2)²，也即
y²=4(x-1)
需要注意的是，由于k值有限，所以过点A(1,0)的直线x=1并不在参数方程表达的范围内，而此时中点显然是(1,0)，经检验也满足上述关系式。
所以，MN的中点轨迹方程就是抛物线y²=4(x-1)。

Answer 2

设过点A(1,0)的直线方程为：y=k(x-1)和x=1
联立直线与抛物线方程有：[k(x-1)]²=8x ==> k²(x-1)²-8x=0
==> k²x²-2k²x-8x+k²=0
==> k²x²-2(k²+4)x+k²=0
则，x1+x2=2(k²+4)/k² ==> x=(x1+x2)/2=(k²+4)/k²…………………①
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k
=[2(k²+4)/k]-2k
=(2k²+8-2k²)/k
=8/k
==> y=(y1+y2)/2=4/k………………………………………………………………②
联立①②消去k得到：y²=4(x-1)
当直线为x=1时，MN中点为(1,0)，也满足上式
综上：MN中点的轨迹方程为：y²=4(x-1)

Answer 3

，，

Answer 4

解答