Question

数学分析，如何证明幂级数∑an*x^n的和函数Sn(x)在收敛域(-R,R)内连续

Answer 1

因为幂级数在收敛域上内闭一致收敛

追问

为什么内闭收敛就能推出连续呢

追答

在区间[a,b]一致收敛就在[a,b]上连续了呀.
设x和x+h是[a,b]上任意的两点,由於幂级数∑an*x^n在[a,b]上一致收敛,根据定义,任意给E>0,存在N>0,使得当n>N时,对[a,b]上的所有点x都满足|S(x)-Sn(x)|0,存在δ>0,当|x+h-x|=|h|<δ时,|Sn(x+h)-Sn(x)|<E.
最後考察和函数的连续性,因为上述3个不等式同时成立,当|h|<δ时,
|S(x+h)-S(x)|=|S(x+h)-Sn(x+h)+Sn(x+h)-Sn(x)+Sn(x)-S(x)|

≤|S(x+h)-Sn(x+h)|+|Sn(x+h)-Sn(x)|+|Sn(x)-S(x)|
<E+E+E=3E
因此S(x)连续