Question

求二元函数f(x,y)=x^2(2+y^2)+ylny的极值

求二元函数f(x,y)=x^2(2+y^2)+ylny的极值写一下详细过程，谢谢

Answer 1

用偏导数求驻点坐标

f'x=2x（2+y^2）=0，x=0

f'y=2x^2y+lny+1=0

 ∴f（x，y）的极值是f（0，1/e）=-1/e。

f（x，y）=x^2（2+y^2）+yln［y］（y>0）

一阶偏导：

f［x］［1］=2（2+y^2）x=0得：x=0

f［0，y］［1］=ln［y］+1=0得：y=1/e

对应的二阶偏导：

f［x］［2］=2（2+y^2）>0恒成立

f［0，1/e］［2］=1/y>0

f（0，1/e）=-1/e为最小值，无极大值。

极值的定义：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。同理，若对D中除x0的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。

以上内容参考：百度百科-极值

Answer 2

用偏导数求驻点坐标。
f'x=2x(2+y^2)=0,x=0,①
f'y=2x^2y+lny+1=0,②
把①代入②，lny=-1,y=1/e,
∴f(x,y)的极值是f(0,1/e)=-1/e.

Answer 3

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