Question

高数 隐函数求导

高数 隐函数求导第11题

Answer 1

解答：
直线L:y=k(x-4);抛物线:y^2=4x; (K≠0)
联立两式子，整理可得:
k^2X^2-(8k^2+4)x+16K^2=0;
根据韦达定理:X1+X2=8+k^2/4;X1X2=16;
所以:y1+y2=k(x1-4)+k(x2-4)=K(X1+X2)-8K=4/k;(K≠0)
因此:AP的中点o(X1/2+2;y1/2)为圆心;
半径R=|AP|/2=]1/2√[(X1-4)^2+y1^2] ;
垂直的直线X=m;
通过弦长关系可以确定L:
(L/2)^2+(m-X1)^2=R^2;根据题目可以知道弦长能保持定值，为了计算上的方便可以用特殊值法。
即:假定K=1;
则有:L^2/4=R^2-(m-X1)^2为一个定值;
L^2/4=12-4√5-20-4√5(m-6)-(m-6)^2;
进一步整理:右边=-m^2-(4√5-12)m+28+20√5;
构造函数:F(X)=-X^2-(4√5-12)X+28+20√5;求导并令导数为0;则有:
-2X-4√5+12=0;解得X=6-2√5=X1值;
已知函数f(x)=lnx+m/x(m∈R).
（1）当m=e时，求f(x)的极小值；
（2）讨论函数g(x)=f’(x)-x/3零点的个数；
（3）若对任意b>a>0，[f(b)-f(a)]/(b-a)<1恒成立，求m的取值范围。
(1)解析：当m=e时，f(x)=lnx+e/x，
令f′(x)=(x-e)/x^2=0==>x=e；
∴当x∈(0,e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0,e)上是减函数；
当x∈(e,+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e,+∞)上是增函数；
∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+e/e=2；