Question

求大神教一下这道题的求极限这样做为什么是错的？

图一貌似是错的方法，但是我找不出原因。图二为正确的结果。

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Answer 1

等价无穷小不能 “+” “-”
要“+” “-”， 涉及到泰勒展式
图1，应该是这样才对
x->0
sinx =x+o(x)
(1+2sinx)^(1/2)

=【1+2x +o(x) 】^(1/2)
=1 + (1/2)(2x) -(1/8)(2x)^2 +o(x^2)
=1 +x - (1/2)x^2 +o(x^2)
(1+2sinx)^(1/2) - x -1 = -(1/2)x^2 +o(x^2)
lim(x->0) [(1+2sinx)^(1/2) - x -1] / x^2
lim(x->0) -(1/2)x^2 / x^2
=-1/2

追问

你的意思是我图一的第一步就错了吗？可是这个等价替换不是在因子的时候可以替换吗

追答

等价无穷小只有泰勒展式的一小部分

以这个题目为例

等价无穷小:

(1+x)^(1/2) ~ 1+ (1/2)x   

泰勒展式:

(1+x)^(1/2) 

= 1+ (1/2)x -(1/8)x^2 + (1/16)x^3 +....+....

有无数的项    

等价无穷小:只取至第1个出现的x^n 项    

这个例子，就是

1+ (1/2)x ， 后面的全不管， 但是以这个例子， 分母 是 x^2 , 这也是需要考虑的项，不要它那就出现问题！

在没有学到泰勒展式的的关系，只能告诉你们等价无穷小不能 “+” “-”，防止出现以上的错误！

Answer 2

如图所示

追问

可以请问下为什么错了吗

追答

有极限才能用四则运算法则

追问

可是我拆开的时候，要怎么辨别它有没有极限从而可以拆开呢？

追答

Answer 3

5.人文俞校本《红楼梦》（大学生必读丛书、语文新课标必读丛书、中国古代小说名著插图典藏系列），俞平伯校订，王惜时参校，前八十回以戚序本作底本，后四十回以程乙本作底本，全书加入启功的注释，人民文学出版社2000年第1版。