Question

边长为2的等边△ABC中D是BC中点E在线段AD连接BE BE下有等边△BEF连接DF△BDF周长

Answer 1

如图所示，取AB的中点G，连接CE、EG。

因为点D、G分别为等边△ABC的边BC、AB的中点，

所以BD=BG①，∠ABC=60°，AD垂直平分BC，有BE=CE，

又因为△BEF为等边三角形， 有BE=BF②，∠EBF=60°，

则由∠ABC=∠EBF=60°可知∠DBF=∠GBE③，所以由①②③得△BDF≌△BGE（SAS），

即题意为求△BGE的周长最小时∠GBE的度数，

因为BG长为固定值，所以仅需考虑BE+EG的值，即CE+EG的值，

则题意为在AD上取一点E，使得CE+EG取得最小值，

显然当点E与点C、G在同一直线上时CE+EG取得最小值，

此时CG垂直平分AB，点E为等边△ABC的中心，易知∠GBE=30°，

所以△BGE的周长最小时∠GBE=30°，即△BDF的周长最小时∠DBF=30°。

取得最小值时情况如下图所示：