Question

证明方程至少有一个小于1的正根

Answer 1

证明：方程x*2^x-1=0在[0，1]之间至少有一个实根. 证明： 设f(x)=x*2^x-1， ∵f(x)在[0，1]上连续，又f(0)=-10,即f(0)与f(1)异号。由【零点存在定理】：若函数f(x)在闭区间[a,b]连 续,且f(a)与f(b)异号（ 即 f(a)·f(b)<0 ）,则一定存在 x.∈（a,b）,使得 f(x.)=0 ( x.也称作 f(x)的零点) 知： 在0与1之间至少有一个点x. , 使得 f(x.)=0,即 x.*2^x.-1=0，所以 x.是x*2^x-1=0的一个实根.

Answer 2

即证2^x=1/x至少有一个小于1的正根，
令f(x)=2^x-1/x
f(1/2)<0，f(1)>0
所以方程至少有一个小于1的正根。