Question

大一高数常微分方程

求下列初值问题的解

Answer 1

这样

Answer 2

（1）dy/(1+y^2) = dx， arctany = x+C， y(0) = 1 代入得 C = π/4
arctany = x+ π/4
（2） dy/dx = -2xy/(y^2-3x^2) = -2(y/x)/[(y/x)^2-3]
令 y/x = p， 则 y = xp， dy/dx = p + xdp/dx = -2p/(p^2-3),
xdp/dx = - (p^2+2p-3)/(p^2-3), (p^2-3)dp/(p^2+2p-3) = -dx/x,
[(p^2+2p-3)-(2p+2) +5]dp/(p^2+2p-3) = -dx/x
p - ln(p^2+2p-3) + (1/4)ln[(p-1)/(p+3)] = - lnx + (1/4)lnC
4p - 4ln(p^2+2p-3) + ln[(p-1)/(p+3)] = - 4lnx + lnC
(p-1)e^(4p)/[(p+3)(p-1)^4(p+3)^4] = C/x^4
e^(4p)/[(p-1)^3(p+3)^5] = C/x^4
x^12 e^(4y/x)/[(y-x)^3(y+3x)^5] = C
y(0) = 1 代入 分母为零，请核题。

Answer 3

解：由题意知，设汽艇关闭后的加速度为a=dv/dt，牛顿第二定律ma=-kv（-表示与汽艇前进方向相反）
汽艇关闭后，t=0时、t=5min时，有
v（0）=30km/h=500m/min， v（5）=60km/h=100m/min。
得到模型：
2000dv/dt=-kv
v│t=0=30km/h=500m/min，
v│t=5=60km/h=100m/min。
联立上面三个方程，得到微分方程通解：v=ce^kt/2000，
带入初始条件v=500e^（ln5/5）t，
所以v│t=15min=500e^（ln5/5）×15≈4s/min。