Question

已知函数f(x)在定义在R上的函数,且在(1,+∞)j单调递增,且函数满足f(1-x)+ f(1+x)=

已知函数f(x)在定义在R上的函数,且在(1,+∞)j单调递增，且函数满足f(1-x)+f(1+x)=4,若f(2m-mcosx)+f(cos2x-2)≥4恒成立，求实数m的取值范围。
求详细解答

Answer 1

因为f(1-x)+f(1+x)=4，且f(x)在x>1时是增函数，所以易知f(x)在R上是增函数
所以f(cos2x-2)=f(1-3+cos2x)=4-f(1+3-cos2x)=4-f(4-cos2x)
所以f(2m-mcosx)+f(cos2x-2)=f(2m-mcosx)+4-f(4-cos2x)
因为f(2m-mcosx)+f(cos2x-2)>=4恒成立
所以f(2m-mcosx)+4-f(4-cos2x)>=4恒成立
f(2m-mcosx)-f(4-cos2x)>=0
f(2m-mcosx)>=f(4-cos2x)
2m-mcosx>=4-cos2x=5-2cos^2x
2cos^2x-mcosx+2m-5>=0
m(2-cosx)>=5-2cos^2x
m>=(5-2cos^2x)/(2-cosx)
令y=cosx -1<=y<=1
因为(5-2y^2)/(2-y)=(8-2y^2-3)/(2-y)
=2(2+y)-3/(2-y)
=2(y-2)+3/(y-2)+8
<=8-2√6 当且仅当2(y-2)=3/(y-2) y=2-√6/2时，等号成立
所以m>=8-2√6