Question

已知奇函数f(x)（-∞,0 )上为减函数，且f(2)=0,则不等式（x-1)f(x-1)小于0的

已知奇函数f(x)（-∞,0 )上为减函数，且f(2)=0,则不等式（x-1)f(x-1)小于0的解集是

Answer 1

f(x)为奇函数，图像关于原点对称，
f(x)（-∞,0 )上为减函数，
那么f(x)在(0,+∞)上也是减函数，
∵ f(2)=0 ∴f(-2)=-f(2)=0
先求xf(x)<0的解集：

x<-2时，f(x)>0, xf(x)<0成立，
-2<x<0时，f(x)<0, xf(x)>0,原不等式不成立；
0<x<2时，f(x)>0,xf(x)>0,原不等式不成立；
x>2时，f(x)<0,xf(x)<0不等式成立。
综上,xf(x)<0的解集为
（-∞，-2）U(2,+∞)
即tf(t)<0的解集为
（-∞，-2）U(2,+∞)
将t换成x-1
那么(x-1)f(x-1)<0的解集为
(-∞,-1)U(3,+∞)

先平移f(x)到f（x-1)在解也可以。