Question

【数学】如何求一个点关于某条直线的对称点

Answer 1

解：设对称点B的坐标(a,b)
方法一：
则线段AB中点C的坐标为（（2+a）/2,(3+b)/2）
因为点A、B关于直线y=-x+1对称，下列两个结论一定成立：
（1）线段AB的中点C一定在直线y=-x+1上，故：(3+b)/2=-（2+a）/2+1
即：a+b=-3
(2)A、B所在直线与直线y=-x+1垂直，故：两直线斜率的乘积k1•k2=-1，因为直线y=-x+1的斜率k1=-1，故：A、B所在直线的斜率k2=1=(b-3)/(a-2)
故：a-b=-1
故：a=-2,
b=-1
故：点A（2，3）关于直线y=-x+1的对称点为(-2,
-1)
方法二：A、B所在直线与直线y=-x+1垂直，故：两直线斜率的乘积k1•k2=-1，因为直线y=-x+1的斜率k1=-1，故：A、B所在直线的斜率k2=1
设A、B所在直线的方程为y=x+c
因为y=x+c过点A（2，3），故：A、B所在直线的方程为y=x+1
故：直线y=-x+1与y=x+1的交点坐标为（0,1）,即：线段AB中点C的坐标
故：(a+2)/2=0,
(3+b)/2=1
故：a=-2,
b=-1
故：点A（2，3）关于直线y=-x+1的对称点为(-2,
-1)
还可以画图、根据几何图形解答；等

Answer 2

1、设出所求点的坐标a（a,b）,根据所设的点a(a,b)和已知点b(c,d),可以表示出对称点的坐标c(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.所以将此点代入直线,此为一个式子。
再根据点ab组成的直线与所知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子。
根据这两个式子,可以求出a,b,即所求点的坐标。
2、联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点a的坐标(a，b)。
举例：
已知点b的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标？
设所求对称点a的坐标为（a，b)，则a和点b（-2，1）的中点c坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且c在直线y=-x+1上。把c点坐标代入已知直线方程得，
b+1/2=-(a-2/2)+1，
可得：a+b=3
(1)
因为a、b两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线ab与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线ab的斜率为1
ab斜率：b-1/a+2=1
(2)
联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3
所以该点的坐标为（0，3）